2023年第十八屆中國北方數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽一試考試于8月9日、10日開考，歷經(jīng)兩天的考試，目前試題已經(jīng)曝光，自主選拔在線團(tuán)隊(duì)整理了2023年第十八屆中國北方數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽一試（第一天），供大家參考！

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2023年第十八屆中國北方數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽一試試題及答案匯總

2023年第十八屆中國北方數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽一試（第一天）

第一題

顯然有FQBD共圓，DEPC共圓，

延長FE交BC于點(diǎn)T,

則TE·TF=TD2，TF·TQ=TB·TD,TE·PT=TD·TC,

所以PT·TQ=TB·TC=TD·TM（TDBC調(diào)和點(diǎn)列）.

綜上可知證畢。

第二題

分析：經(jīng)過一些摸索，或者直接憑經(jīng)驗(yàn)和感覺大膽猜測(cè)也可以。

解答：

首先取a1=a2=··=a（n–1）=0，a（n）=1/n，

此時(shí)因x（n）≥1/n，原式=1-1/n，是定值。

所以λ≤1-1/n。

另一方面考慮兩組x序列：

（0，0··，1）和（1/n，1/n··，1/n）

由絕對(duì)值不等式容易知道兩者中必有一個(gè)大于等于1-1/n，于是λ≥1-1/n。

綜上，λ=1-1/n。

第三題

當(dāng)n=17時(shí)，對(duì)于一個(gè)點(diǎn)連出的16條邊，一共染三種顏色，必然有6條邊是同色的，對(duì)于這個(gè)6個(gè)點(diǎn)，兩兩連線只能是二染色的，其中一個(gè)點(diǎn)連出的5條邊又有3條同色，于是必然有同色三角形。

當(dāng)n=16時(shí)，可以構(gòu)造出來。

第四題

只需證明不存在x，y使得：

p不整除x–y且p整除x^5–y^5，

由費(fèi)馬小定理以及5不是p–1的因數(shù)證畢。

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