2025年第41屆全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（CMO）決賽戰(zhàn)罷！本屆試題在創(chuàng)新性與綜合性上再度加碼，尤其組合與數(shù)論題對(duì)頂尖選手構(gòu)成巨大挑戰(zhàn)。

推薦閱讀：2025年第41屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽（CMO）全程報(bào)道

2025年數(shù)學(xué)競賽決賽CMO試題評(píng)析出爐

　　復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式(難度：★☆☆☆)

　　題目特點(diǎn)：溫和而新穎，被不少選手稱為“打卡題”。

　　這道題考察復(fù)數(shù)集上的多項(xiàng)式映射性質(zhì)。題目設(shè)定了一個(gè)扇形區(qū)域A和一個(gè)帶狀區(qū)域B，要求找出所有將A映射到B的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式。解題關(guān)鍵在于分析多項(xiàng)式次數(shù)對(duì)區(qū)域變換的影響，結(jié)合最大模原理與代數(shù)基本定理，導(dǎo)出只有常數(shù)多項(xiàng)式滿足條件。

　　備考建議：第一題雖“易”，但CMO從來重視論證的嚴(yán)密性。建議考生訓(xùn)練時(shí)注重步驟完整、邏輯清晰，避免因表達(dá)疏失丟分。

　　平面幾何(難度：★★★☆)

　　題目特點(diǎn)：風(fēng)格鮮明、難度較高，是一道小分水嶺題。

　　本題圍繞圓內(nèi)接四邊形展開，涉及多點(diǎn)共圓、對(duì)角線交點(diǎn)、垂線構(gòu)造等經(jīng)典幾何元素，但附加了若干特殊條件，如特定角度關(guān)系與長度約束。解題需綜合運(yùn)用幾何變換、反演與代數(shù)化方法，尋找極值狀態(tài)。

　　命題人背景：該題延續(xù)了姚一雋教授一貫的幾何風(fēng)格——條件精煉、結(jié)構(gòu)深刻，強(qiáng)調(diào)對(duì)圖形性質(zhì)的深層次挖掘。

　　組合數(shù)學(xué)(難度：★★★★★)

　　題目特點(diǎn)：難度躍升，堪稱“攔路虎”，是區(qū)分頂尖選手的關(guān)鍵題。

　　題目設(shè)定了一個(gè)雙色卡片系統(tǒng)，通過不斷取平均數(shù)操作，目標(biāo)是使紅色卡片數(shù)字總和超過100。解題需建立離散過程模型，設(shè)計(jì)最優(yōu)操作策略，并借助貪心算法與不等式估計(jì)，求出最小的n。

　　總結(jié)：這三道試題梯度合理，第一題“送溫暖”，第二題“設(shè)門檻”，第三題“定高低”。能夠清晰地把銅牌水平、金銀牌水平、以及國集甚至國家隊(duì)水平的學(xué)生區(qū)分開來。

　　組合(難度：★★★★☆)

　　第一小問較易，第二小問上難度。整體難度不低，嘗試構(gòu)造全(半)不變量，將抽象結(jié)構(gòu)代數(shù)化，但能尋找到這樣的關(guān)系量，經(jīng)驗(yàn)、運(yùn)氣、實(shí)力缺一不可。答案其實(shí)不難得到，難的是想明白和寫清楚。感覺是區(qū)分度很大的一題，尤其是放在4這個(gè)位置。

　　代數(shù)不等式問題(難度：★★★☆☆)

　　因?yàn)槿〉群艹Ｒ?guī)，所以一定要相信考生們有千方百計(jì)來處理這個(gè)不等式，甚至感覺暴力展開也可以做，相比第四題來說簡單太多了，考場上能及時(shí)跳四做五的同學(xué)有大智慧。

　　這道題可能會(huì)導(dǎo)致今年的銀牌線提升。

　　數(shù)論(難度：★★★★★)

　　高難度題。要用到模線性方程 + 排列構(gòu)造，涉及群論中的循環(huán)群、單位、多項(xiàng)式環(huán)等概念，是今天3道題中抽象程度最高、難度最大的題目。不過從這題來看，擴(kuò)域幾乎也成了CMO必考知識(shí)點(diǎn)了。