2025年CMO決賽代數(shù)板塊預(yù)計延續(xù)“經(jīng)典+創(chuàng)新”風(fēng)格，重點落在多項式與根的關(guān)系、數(shù)列與遞推、不等式與極值三條主線。

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2025中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽（CMO）的代數(shù)部分主要考查哪些內(nèi)容？

　　多項式與根——恒等式與不可約判定

　　CMO代數(shù)題的第一大核心是多項式理論。2025命題組預(yù)計仍將圍繞“根與系數(shù)”“整系數(shù)不可約”兩條主線展開：既可能要求用牛頓恒等式把冪和對稱式轉(zhuǎn)化為初等對稱式，也常在模p或艾森斯坦準(zhǔn)則上設(shè)置不可約判定。此外，復(fù)根共軛、單位根的循環(huán)性質(zhì)常被嵌入數(shù)論或組合場景，考查選手對代數(shù)結(jié)構(gòu)的整體把握。

　　數(shù)列與遞推——母函數(shù)與特征根技巧

　　第二大板塊是數(shù)列與遞推。決賽慣于給出帶參的非線性遞推，需要先做變量替換或倒數(shù)轉(zhuǎn)化，再用特征方程、母函數(shù)，甚至發(fā)生函數(shù)求閉式;對不能求閉式的情況，則通過估計上下極限證明單調(diào)有界。2025年預(yù)計出現(xiàn)“混合階”遞推——把二階線性項與乘法項耦合，檢驗選手對“降階—解耦—歸納”三步法的熟練度。

　　不等式與極值——放縮、對稱化與取等分析

　　最后一大看點是不等式與多元極值。命題人傾向把均值、柯西、舒爾等基礎(chǔ)不等式嵌入對稱或循環(huán)式中，再疊加約束條件，要求尋找取等路徑;更難的題會把極值點移到邊界，需要拉格朗日乘子或局部調(diào)整法。大綱強調(diào)“寫清放縮理由”，步驟分占比提高，意味著僅靠直觀“猜最值”已難獲高分，必須給出嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)與等號成立條件。

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